2.1 Valores centrales

Calcular la media, mediana y los cinco números (de Tukey) de la capacidad pulmonar. Visualizar la muestra de valores en un diagrama de caja (boxplot). ¿Se detectan valores extremos (outliers) en el diagrama? A continuación, mostrar mediante diagramas de caja la capacidad pulmonar separando el género femenino y el masculino. Mostrar, finalmente, mediante diagramas de caja la comparación entre el valor de PC original y al cabo de 5 años. Interpretar los resultados.

x.five <- fivenum( data$PC )
x.median <- median( data$PC )
x.mean <-mean( data$PC )
boxplot( data$PC, main="PC" )

boxplot( PC~Sex, data, main="PC")

boxplot( data$PC, data$PC5Y, names=c("PC", "PC after 5Y"), main="PC")

Interpretación: La capacidad pulmonar de la muestra se mueve desde 1.557 como valor mínimo hasta 4.466 como máximo. El diagrama de caja es un poco asimétrico por la izquierda, es decir, el 50% de los valores inferiores están más dispersos que la mitad superior. El valor de la mediana es 3.554 y la media 3.33099. Se observa un valor extremo por debajo.

En cuanto al boxplot de PC en función del sexo, se observa que la capacidad pulmonar de las mujeres es inferior. También la dispersión es mayor que en el caso de los hombres.

En el boxplot donde se compara la capacidad pulmonar en el primer test y al cabo de cinco años, no hay diferencias notables en la mitad superior de los datos. La mitad inferior de valor de PC presenta más dispersión en el test a los cinco años. También se observa un ligero descenso del valor de la PC en la mitad inferior. Habrá que ver si esta diferencia es significativa.

2.2 Dispersión

Calcular la dispersión de la capacidad pulmonar usando las medidas: varianza, desviación típica y rango intercuartílico.

#Medidas de dispersión
x.iqr <- IQR( data$PC )
x.var <- var( data$PC )
x.sd  <- sd( data$PC )

Rango interquartílico: 0.88475
Varianza: 0.3937751
Desviación estándar: 0.627515

2.3 Cálculo manual de la dispersión

Calcular la desviación típica de la capacidad pulmonar manualmente y comparar el resultado con la función correspondiente de R.

N<-length( data$PC )
N

## [1] 300

sample.mean <- sum( data$PC )/N
sample.mean

## [1] 3.33099

sample.sd <- sqrt( sum((data$PC - sample.mean)^2) / (N-1) )

El resultado de la desviación estándar de la muestra calculada manualmente es: 0.6275. Según la función sd, el resultado es 0.6275.

2.4 Histograma

Representar un histograma de la variable PC. Si es necesario, configura los parámetros del histograma para que se vea con una buena precisión.

N<-length( data$PC )
hist( data$PC, breaks=40, prob=TRUE, main="Distribució de valors de PC" )

N

## [1] 300

2.5 Datos categóricos

En las variables Sex, Sport y City, realizar un resumen numérico y dibujar un diagrama circular que muestre la proporción de casos de cada categoria.

summary(data)

##  Sex     Sport       Years             Cig               PC
##  F:137   E:127   Min.   : 0.000   Min.   : 0.000   Min.   :1.557
##  M:163   N: 83   1st Qu.: 0.000   1st Qu.: 0.000   1st Qu.:2.909
##          R: 48   Median : 0.000   Median : 0.000   Median :3.554
##          S: 42   Mean   : 8.463   Mean   : 7.273   Mean   :3.331
##                  3rd Qu.:15.250   3rd Qu.:13.000   3rd Qu.:3.793
##                  Max.   :51.000   Max.   :47.000   Max.   :4.466
##
##         City         Weight           Age            Height
##  Barcelona:102   Min.   :57.00   Min.   :19.00   Min.   :158.0
##  Terrassa : 42   1st Qu.:65.00   1st Qu.:38.00   1st Qu.:166.0
##  Valls    : 15   Median :68.00   Median :46.00   Median :172.0
##  Tarragona: 14   Mean   :67.72   Mean   :45.59   Mean   :171.4
##  Lleida   : 13   3rd Qu.:71.00   3rd Qu.:52.00   3rd Qu.:176.0
##  Sitges   : 13   Max.   :79.00   Max.   :77.00   Max.   :186.0
##  (Other)  :101
##       PC5Y
##  Min.   :1.444
##  1st Qu.:2.744
##  Median :3.543
##  Mean   :3.289
##  3rd Qu.:3.796
##  Max.   :4.472
## 

summary(data$Sport)

##   E   N   R   S
## 127  83  48  42

#Sex
par(mfrow=c(1,2))
table( data$Sex )

##
##   F   M
## 137 163

pie( table(data$Sex),main="Sex")

#Sport
pie( table(data$Sport),main="Sport")

pie( table(data$City),main="City")

par(mfrow=c(1,1))

3.1 Intervalo de confianza

Calcular el intervalo de confianza del 97% de la capacidad pulmonar de la población.

Por el teorema del límite central, para el cálculo del intervalo de confianza de la media, y muestras de tamaño superior a 30, podemos usar una distribución normal.

n<-nrow( data )
alpha<-1-0.97

#Error típic
errorTipic <- sd(data$PC) / sqrt( n )
errorTipic

## [1] 0.0362296

#Valor z
z<-qnorm( 1-alpha/2 )
z

## [1] 2.17009

#Marge d'error
error<- z * errorTipic
error

## [1] 0.0786215

#Interval
c( mean(data$PC) - error, mean(data$PC) + error )

## [1] 3.252369 3.409611

#Comprovació amb t Student.
#No dona exactament igual perquè s'ha assumit distribució normal (anteriorment).
t.test( data$PC, conf.level=0.97 )

##
##  One Sample t-test
##
## data:  data$PC
## t = 91.941, df = 299, p-value < 2.2e-16
## alternative hypothesis: true mean is not equal to 0
## 97 percent confidence interval:
##  3.251991 3.409989
## sample estimates:
## mean of x
##   3.33099

3.2 Analizar la capacidad pulmonar de las mujeres

Asumimos que conocemos la capacidad pulmonar media de la población, que es igual a 3.30. ¿Podemos decir que la capacidad pulmonar de las mujeres es inferior a la media poblacional, con un nivel de confianza del 95%? Para responder a esta pregunta, siga los pasos que se indican.

#
Fem <- data[data$Sex=='F',]
mu0<-3.30
n<-nrow( Fem )

mean(Fem$PC)

## [1] 3.215241

#Estadístic de contrast
t<- (mean(Fem$PC)-mu0) / (sd(Fem$PC)/sqrt(n))

#Valor crític al 95%
#Contrast unilateral
tcritical <- qnorm( 1-0.95, lower.tail=T)

#Valor p
pvalue <- pnorm( t, lower.tail=T)

t

## [1] -1.592563

tcritical

## [1] -1.644854

pvalue

## [1] 0.05562909

#Comprovació
t.test( Fem$PC, mu=3.30, alternative="less" )

##
##  One Sample t-test
##
## data:  Fem$PC
## t = -1.5926, df = 136, p-value = 0.05679
## alternative hypothesis: true mean is less than 3.3
## 95 percent confidence interval:
##      -Inf 3.303383
## sample estimates:
## mean of x
##  3.215241

3.3 Comparación entre fumadores y no fumadores

Nos preguntamos si la capacidad pulmonar de los fumadores es inferior a la capacidad pulmonar de los no fumadores. Aplicar un test de hipótesis para contrastar la hipótesis anterior con un 95% de confianza e interpretar el resultado.

Siga los pasos que se indican a continuación.

str( data$Cig )

##  int [1:300] 10 32 0 14 0 0 15 0 0 12 ...

Fum <- data[data$Cig > 0 ,]
NoFum <- data[data$Cig==0, ]
n.fum <- nrow( Fum )
n.nofum <- nrow( NoFum )

#comprovació
nrow( data )

## [1] 300

n.fum

## [1] 131

n.nofum

## [1] 169

n.fum + n.nofum

## [1] 300

#Càlculs
mean.fum <- mean( Fum$PC )
sd.fum <- sd( Fum$PC )
c( mean.fum, sd.fum )

## [1] 2.7571985 0.4935864

mean.no.fum <- mean( NoFum$PC )
sd.no.fum <- sd( NoFum$PC )
c( mean.no.fum, sd.no.fum )

## [1] 3.7757633 0.2378603

#mostrem boxplot
boxplot( Fum$PC, NoFum$PC, main="PC", names=c("Fumador", "No Fumador"))

S <- sqrt( sd.fum^2/n.fum + sd.no.fum^2/n.nofum)
zobs <- (mean.no.fum-mean.fum)/ S
zobs

## [1] 21.74292

alfa <- 1-0.95
zcritical <- qnorm( alfa, lower.tail=FALSE )
zcritical

## [1] 1.644854

pvalue<-pnorm( abs(zobs), lower.tail=FALSE )
pvalue

## [1] 4.030158e-105

alfa <- 1-0.99
zcritical <- qnorm( alfa, lower.tail=FALSE )
zcritical

## [1] 2.326348

pvalue<-pnorm( abs(zobs), lower.tail=FALSE )
pvalue

## [1] 4.030158e-105

3.4 Después de 5 años

Después de 5 años se mide de nuevo la capacidad pulmonar de las mismas personas del estudio. La columna PC5Y incorpora la capacidad pulmonar de los mismos sujetos a los 5 años. Nos preguntamos si la capacidad pulmonar ha cambiado significativamente, con un nivel de confianza del 95% en el caso de los fumadores y en el caso de los no fumadores. Responda a las siguientes preguntas.

#Test apareado de dos colas:
#Input: Dos  muestras apareadas y el nivel de confianza
test.paired <- function( d1, d2, cl ){
              dif <- d1 - d2
  n <- length( dif )
  mean <- mean( dif )
  sd <- sd( dif )
  mu<-0
  alfa <- 1-cl
  z.obs<- (mean - mu) / (sd/sqrt(n))
  z.critical <- qnorm( alfa/2, lower.tail=FALSE  )
  pvalue <- pnorm( abs(z.obs), lower.tail=FALSE )*2  #dos colas
  cat ("sample mean=", mean, "   sd=", sd, "  sample length=", n, "\n",
        "z obs= ", z.obs, "\n",
       "z critical: ", z.critical, "\n",
       "p value", pvalue, "\n")
  return (pvalue)
}

test.paired( Fum$PC, Fum$PC5Y, 0.95)

## sample mean= 0.09820611    sd= 0.0970989   sample length= 131
##  z obs=  11.57604
##  z critical:  1.959964
##  p value 5.45091e-31

## [1] 5.45091e-31

test.paired( NoFum$PC, NoFum$PC5Y, 0.95 )

## sample mean= -0.002100592    sd= 0.02664195   sample length= 169
##  z obs=  -1.024989
##  z critical:  1.959964
##  p value 0.3053686

## [1] 0.3053686